Question

f（x）=2

3

sinxcosx-2sin2x+a，a∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数f（x）进行化简，利用三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数f（x）有零点，求出函数的取值范围即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin2x+a=

3

sin2x+cos2x-1+a
=2sin（2x+

π

6

）+a-1，
则函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，
即函数的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（2）若函数f（x）有零点，
则2sin（2x+

π

6

）+a-1=0有解，
即2sin（2x+

π

6

）=1-a，
∵-2≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
∴-2≤1-a≤2，
解得-1≤a≤3，
即实数a的取值范围-1≤a≤3．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．