Question

设f（x）=|2-x²|，若0＜a＜b且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是

1. A.
   （0，2）
2. B.
   （，2）
3. C.
   （2，4）
4. D.
   （2，2）

Answer 1

D
分析：根据f（x）=|2-x²|，结合f（a）=f（b），得f（a）=2-a²且f（b）=b²-2，所以a²+b²=4，且0＜a＜b．令a=2cosα，b=2sinα，得a+b=2sin（α+），并且α，结合正弦函数的图象与性质，可得a+b的取值范围．
解答：∵f（x）=|2-x²|，0＜a＜b且f（a）=f（b），
∴0＜a＜b，且f（a）=2-a²，f（b）=b²-2，
因此，2-a²=b²-2，得a²+b²=4
令a=2cosα，b=2sinα，
因为0＜a＜b，所以α
则a+b=2cosα+2sinα=2sin（α+）
∵＜α+＜，
∴sin（α+）∈（，1），得2sin（α+）∈（2，2）
即a+b的取值范围是（2，2）
故选D
点评：本题以含有绝对值的二次函数为载体，考查了函数图象的对称性、三角换元法求函数值域和不等式恒成立等知识，属于基础題．