Question

（2008•静安区一模）（理）设

a

=(cosα，(λ-1)sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜

π

2

)是平面上的两个向量，若向量

a

+

b

与

a

-

b

相互垂直，
（1）求实数λ的值；
（2）若

a

•

b

=

4

5

，且tanα=

4

3

，求α的值（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：（1）由题意及平面向量的数量积运算法则进行化简，由α的范围，得到sinα不为0，再由λ大于0，根据化简后的关系式即可求出λ的值；
（2）把第一问求出的λ的值代入

a

的坐标确定出此向量，然后利用平面向量的数量积运算法则化简

a

•

b

=

4

5

，可得出cos（α-β）的值，由α与β的范围得出α-β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-β）及tan（α-β）的值，再由α=（α-β）+β，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入求出tanα的值，即可得出α的度数．

解答：解：（1）由题设，得(

a

+

b

)(

a

-

b

)=0，
即|

a

|2-|

b

|2=0，
所以，（λ-1）²sin²α-sin²α=0，
即λ（λ-2）sin²α=0
因为0＜α＜

π

2

，
∴sin²α≠0，又λ＞0，
所以λ-2=0，即λ=2；
（2）由（1）知，

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，
∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)，
又

a

•

b

=

4

5

，
∴cos(α-β)=

4

5

，
∵0＜α＜β＜

π

2

，则-

π

2

＜α-β＜0，
∴sin(α-β)=-

3

5

，tan(α-β)=-

3

4

，
∴tanα=tan[(α-β)+β]=

7

24

，
又0＜α＜

π

2

，
∴α=arctan

7

24

．

点评：此题考查了平面向量数量积的运算，利用数量积判断两向量的垂直关系，两角和与差的余弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，学生做题时特别注意角度的范围及灵活变换．