Question

【题目】已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝b1＝1，S2＝.

(1)若b2是a1，a3的等差中项，求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)若an∈N＋，数列{}是公比为9的等比数列，求证：＋＋＋…＋＜.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1或an＝6－5n，bn＝(－4)n－1.（2）证明见解析。

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.利用等比数列的性质求出d，q，再求出通项公式.（2）利用数列{ban}是公比为9的等比数列，求出d＝2，q＝3.再放缩成能利用裂项求和的方法即可.

(1)解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.

因为S2＝，所以a1＋a1＋d＝.

而a1＝b1＝1，则q(2＋d)＝12.①

因为b2是a1，a3的等差中项，

所以a1＋a3＝2b2，

即1＋1＋2d＝2q，

即1＋d＝q.②

联立①②，

解得或

所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.

(2)证明：因为an∈N＋，

ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，

所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③

由(1)，知q(2＋d)＝12，即q＝.④

因为a1＝1，an∈N＋，所以d∈N.

根据③④，知q＞1且q为正整数．

所以d可为0或1或2或4.但同时满足③④两个等式的只有d＝2，q＝3，

所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.

所以＝＜＝(n≥2)．

当n≥2时，

＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋

＝1＋

＝1＋＝－＜.

显然，当n＝1时上式也成立．

故n∈N＋，＋＋…＋＜.