【题目】已知抛物线的方程为C:x2=4y,过点Q(0,2)的一条直线与抛物线C交于A,B两点,若抛物线在A,B两点的切线交于点P.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设直线PQ与直线AB的夹角为α,求α的取值范围.
【答案】
(1)
解:由AB直线与抛物线交于两点可知,直线AB不与x轴垂直,故可设lAB:y=kx+2,
则 ,整理得:x2﹣4ky﹣8=0…①,
△=16k2+32>0,故k∈R时均满足题目要求.
设交点坐标为 ,则x1,x2为方程①的两根,
故由韦达定理可知,x1+x2=4k,x1x2=﹣8.
将抛物线方程转化为 ,则 ,故A点处的切线方程为 ,
整理得 ,
同理可得,B点处的切线方程为 ,记两条切线的交点P(xp,yp),
联立两条切线的方程,解得点P坐标为 ,
故点P的轨迹方程为y=﹣2,x∈R
(2)
解:当k=0时,xP=0,yP=﹣2,此时直线PQ即为y轴,与直线AB的夹角为 .
当k≠0时,记直线PQ的斜率 ,
又由于直线AB的斜率为k,且已知直线AB与直线PQ所夹角α∈[0, ],
tanα=丨 丨=丨 丨= +丨k丨≥2 ,
则a∈[arctan2 , )
综上所述,α的取值范围是∈[arctan2 , ]
【解析】(1)将直线AB的方程代入椭圆方程,利用韦达定理及导数的几何意义,分别求得切线方程,联立即可求得点P的轨迹方程;(2)分类讨论,根据直线斜率与倾斜角的关系,即可求得tanα取值范围,即可求得α的取值范围.
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【题目】某地要建造一个边长为2(单位:km)的正方形市民休闲公园OABC,将其中的区域ODC开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点D的坐标为(1,2),曲线OD是函数y=ax2图象的一部分,对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b(k>0)的图象,与线段DB交于点N(点N不与点D重合),且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P,四边形MABN为绿化风景区:
(1)求证:b=﹣ ;
(2)设点P的横坐标为t,①用t表示M、N两点坐标;②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S(t),并求S的最大值.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l: (m为常数).
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,当|AB|=4时,求实数m的值.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=3,点E,F分别为AB、CD的中点,将四边形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置,使∠A1EB=120°,如图2所示,点G、H分别在A1B、D1C上,A1G=D1H= ,过点G、H的平面α与几何体A1EB﹣D1FC的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求点E到平面α的距离.
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【题目】已知圆C:(x﹣2)2+(y﹣1)2=1,点P为直线x+2y﹣9=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,其中A,B为切点,则 的取值范围为 .
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【题目】已知函数f(x)的导函数f′(x),满足(x﹣2)[f′(x)﹣f(x)]>0,且f(4﹣x)=e4﹣2xf(x),则下列关于 f(x)的命题正确的是( )
A.f(3)>e2f(1)
B.f(3)<ef(2)
C.f(4)<e4f(0)
D.f(4)<e5f(﹣1)
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【题目】如图,已知过抛物线E:x2=4y的焦点F的直线交抛物线E与A、C两点,经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B(B与C不重合),∠FAD=∠FDA,经过点C作抛物线E的切线为l2 .
(Ⅰ)求证:l1∥l2;
(Ⅱ)求三角形ABC面积的最小值.
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【题目】阅读程序框图,该算法的功能是输出( )
A.数列{2n﹣1}的前 4项的和
B.数列{2n﹣1}的第4项
C.数列{2n}的前5项的和
D.数列{2n﹣1}的第5项
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【题目】据统计,截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿,为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量,现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查,结果如下:
微信群数量(个) | 频数 | 频率 |
0~4 | 0.15 | |
5~8 | 40 | 0.4 |
9~12 | 25 | |
13~16 | a | c |
16以上 | 5 | b |
合计 | 100 | 1 |
(Ⅰ)求a,b,c的值及样本中微信群个数超过12的概率;
(Ⅱ)若从这100位同学中随机抽取2人,求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率;
(Ⅲ)以(1)中的频率作为概率,若从全市大学生中随机抽取3人,记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数,求X的分布列和数学期望E(X).
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