Question

（2010•温州一模）已知函数f（x）=

a

2

x2-lnx，
（I） 若a=1，证明f（x）没有零点；
（II）若f（x）≥

1

2

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）将a=1代入函数，得f（x）=

1

2

x2-lnx，再利用导数讨论f（x）的单调性，可得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．从而得到f（x）的最小值为f（1）是一个正数，最终得出f（x）在（0，+∞）上没有零点；
（II）因为x²＞0，所以原不等式可以变形为a≥

1+2lnx

x2

恒成立，说明a大于右边式子的最大值．记右边的式子为
F（x），同样用导数讨论F（x）的单调性，可得F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而得出
F（x）_max=F（1）=1．最后可以得出a的取值范围是[1，+∞）．

解答：解：（I）a=1时，f（x）=

1

2

x2-lnx，其中x＞0
求导数得f/(x)=x-

1

x

  …（3分）
由  f′（x）=0 得x=1
当f′（x）＜0时，0＜x＜1；当f′（x）＞0时，x＞1
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增…（5分）
故f（x）的最小值f_min（x）=f（1）=

1

2

＞0，所以f（x）没有零点…（7分）
（II）由f（x）≥

1

2

恒成立，得a≥

1+2lnx

x2

恒成立…．（9分）
记右边F(x)=

1+2lnx

x2

，（x＞0）
则F /(x)=

2 x •x2 -(1+2lnx)•2x

x4

=

-4lnx

x3

  …．（11分）
若F′（x）=0得x=1．
当F′（x）＞0时，0＜x＜1；当F′（x）＜0时，x＞1
∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
故F（x）的最大值为F（1）=1…．（13分）
所以a≥F（x）恒成立，等价于a≥1 
因此实数a的取值范围是[1，+∞）…．（15分）

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值以及不等式恒成立等知识点，属于中档题．