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    【题目】已知函数 .

    （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

    （Ⅱ）求证： ；

    （Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明理由.

    【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

    【解析】试题分析：（1）求导，得到切线斜率，利用点斜式得到直线的方程；（2）“要证明”等价于“”，构造新函数确定函数的最小值大于等于；（3）曲线是位于轴下方即证明)，利用（Ⅱ）可知，转证即可.

    试题解析：

    函数的定义域为，

    .

    （Ⅰ），又，

    曲线在处的切线方程为

    ，

    即.

    （Ⅱ）“要证明”等价于“”

    设函数.

    令，解得.

    因此，函数的最小值为.故.

    即.

    （Ⅲ）曲线位于轴下方. 理由如下：

    由（Ⅱ）可知，所以.

    设，则.

    令得；令得.

    所以在上为增函数， 上为减函数.

    所以当时， 恒成立,当且仅当时， .

    又因为， 所以恒成立.

    故曲线位于轴下方.

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