Question

【题目】如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点，AB＝CE＝2．

（1）求证：DE∥平面ACF；

（2）求异面直线EO与AB所成角的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

(1) 利用中位线证明 OF∥DE即可.

(2)以为空间坐标系原点进行建系,再求得与,利用向量夹角的运算进行求解即可.

（1）证明：连结OF,

∵在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ADC＝60°,AC与BD交于点O,

∴O是BD中点,∵F为BE的中点,∴OF∥DE,

∵DE平面ACF,OF平面ACF,

∴DE∥平面ACF．

（2）解：以O为原点,OD为x轴,OA为y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,

则E（0,﹣1,2）,O（0,0,0）,A（0,1,0）,B（,0,0）,

（0,﹣1,2）,（,﹣1,0）,

设异面直线EO与AB所成角为θ,则cosθ．

∴异面直线EO与AB所成角的余弦值为．