Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N*，令b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ，求f?（1）的表达式，并比较f?（1）与8n²-4n的大小．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=4（a_n+2）-5，知S_n=4a_n-1+3（n≥2）．所以a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2）．a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=2（n≥2）．由此能求出数列{b_n}的通项公式；
（2）由f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³++b_nxⁿ，知f'（1）=b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，再由错位相减法能够导出f'（1）=4+（n-1）•2ⁿ⁺²．然且由分类讨论进行求解．

解答：解：（1）∵S_n+1=4（a_n+2）-5，
∴S_n+1=4a_n+3．
∴S_n=4a_n-1+3（n≥2）．
∴a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2）．
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）．
∴

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=2（n≥2）．
∴数列{b_n}为等比数列，其公比为q=2，首项b₁=a₂-2a₁，
而a₁+a₂=4a₁+3，且a₁=1，
∴a₂=6．
∴b₁=6-2=4．
∴b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．（4分）．
（2）∵f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³++b_nxⁿ，
∴f'（x）=b₁x+2b₂x+3b₃x²++nb_nx^n-1．
∴f'（1）=b₁+2b₂+3b₃++nb_n．
∴f'（1）=2²+2•2³+3•2⁴++n•2ⁿ⁺¹，①
∴2f'（1）=2³+2•2⁴+3•2⁵++n•2ⁿ⁺²．②
①-②得-f'（1）=2²+2³+2⁴++2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n•2n+2=-4（1-2ⁿ）-n•2ⁿ⁺²，
∴f'（1）=4+（n-1）•2ⁿ⁺²．（6分）．
∴f'（1）-（8n²-4n）=4（n-1）•2ⁿ-4（2n²-n-1）=4（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]．
当n=1时，f′（1）=8n²-4n；
当n=2时，f′（1）-（8n²-4n）=4（4-5）=-4＜0，f′（1）＜8n²-4n；
当n≥3时，4（n-1）＞0，
且2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ＞2n+2＞2n+1，
∴n≥3时，总有2ⁿ＞2n+1．（10分）．
∴n≥3时，总有f′（1）＞8n²-4n．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，注意错位相减法和分类讨论思想的运用．