Question

（2012•吉安县模拟）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），平行于OM直线?在y轴上的截距为m（m＜0），设直线?交椭圆于两个不同点A、B，
（1）求椭圆方程；
（2）求证：对任意的m的允许值，△ABM的内心I在定直线x=2上．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），建立方程组，从而可求椭圆的方程；
（2）证明△ABM的角平分线MI垂直x轴，从而内心I的横坐标等于点M的横坐标，则可得对任意的m的允许值，△ABM的内心I在定直线 x=2上．

解答：（1）解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
则∵长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），
∴

a=2b 4 a2 + 1 b2

=1⇒

a2=8 b2=2

所以，椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1（5分）
（2）证明：因为直线?平行于OM，且在y轴上的截距为m，又KOM=

1

2

，所以直线?的方程为y=

1

2

x+m，
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

⇒x2+2mx+2m2-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，（8分）
设直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

故k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0（12分）
故k₁+k₂=0，所以，△ABM的角平分线MI垂直x轴，因此，内心I的横坐标等于点M的横坐标，则对任意的m的允许值，△ABM的内心I在定直线 x=2上（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理，从而确定直线MA、MB的斜率的和为0．