Question

已知函数是定义在区间上的偶函数，且时， （1）.求函数的解析式；（2）.若矩形的顶点在函数的图像上，顶点在轴上，求矩形的面积的最大值。

Answer 1

（1）f(x)=；（2）当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6.

解析:

（1）当所以f(-x)＝-(-x)²-(-x)+5=-x²+x+5，

又因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)=-x²+x+5，

所以f(x)=

（2）由题意，不妨设Ａ点在第一象限，坐标为(t,-t²-t+5)其中，，

则S(t)=S _ABCD=2t(-t²-t+5)=-2t³-2t²+10t.，

令得（舍去），t₂=1.

当时，所以S(t)在上单调递增，在上单调递减，

所以当t=1时，ABCD的面积取得极大值也是S(t)在上的最大值。

从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6.