Question

9．（1）求经过直线l₁：3x+2y-1=0和l₂：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l₃：3x-5y+6=0的直线l的方程．
（2）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）根据直线过两条直线的交点，设出所求直线方程，再利用两条直线互相垂直的关系，即可求出所求的直线方程；
（2）直线与圆相切，设圆心坐标为（a，0），则圆方程为（x-a）²+y²=4，由已知得d=R=2=$\frac{|3a+4|}{5}$，由此能求出圆C的方程．

解答 解：（1）设所求直线方程为3x+2y-1+λ（5x+2y+1）=0，
即（3+5λ）x+（2+2λ）y+（-1+λ）=0；
由所求直线垂直于直线l₃：3x-5y+6=0，得$\frac{3}{5}$•（-$\frac{3+5λ}{2+2λ}$）=-1，
解得λ=$\frac{1}{5}$，
故所求直线方程是5x-3y-1=0．
（2）直线与圆相切，设圆心坐标为（a，0），
则圆方程为：
（x-a）²+y²=4，
∵圆心与切点连线必垂直于切线，
根据点与直线距离公式，得d=R=2=$\frac{|3a+4|}{5}$，
解得a=2或a=-$\frac{14}{3}$，（因圆心在正半轴，不符合舍去）
∴a=2，
∴圆C的方程为：（x-2）²+y²=4．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，考查圆的方程的求法，也考查了两条直线相交与垂直的应用问题，是中档题．