【题目】已知函数,其中实数a为常数.
(I)当a=-l时,确定的单调区间:
(II)若f(x)在区间(e为自然对数的底数)上的最大值为-3,求a的值;
(Ⅲ)当a=-1时,证明.
【答案】(Ⅰ)在区间上为增函数,在区间上为减函数.(Ⅱ). (Ⅲ) 见解析.
【解析】
试题(Ⅰ)通过求导数,时,时,,单调函数的单调区间.
(Ⅱ)遵循“求导数,求驻点,讨论区间导数值正负,确定端点函数值,比较大小”等步骤,得到的方程.注意分①;②;③,等不同情况加以讨论.
(Ⅲ) 根据函数结构特点,令,利用“导数法”,研究有最大值,根据, 得证.
试题解析:(Ⅰ)当时,,∴,又,所以
当时,在区间上为增函数,
当时,,在区间上为减函数,
即在区间上为增函数,在区间上为减函数.
(Ⅱ)∵,①若,∵,则在区间上恒成立,
在区间上为增函数,,∴,舍去;
②当时,∵,∴在区间上为增函数,
,∴,舍去;
③若,当时,在区间上为增函数,
当时,,在区间上为减函数,
,∴.
综上.
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知,当时,有最大值,最大值为,即,
所以,
令,则,
当时,,在区间上为增函数,
当时,,在区间上为减函数,
所以当时,有最大值,
所以,
即.
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【题目】已知正四面体ABCD的棱长为2,球O与四面体的面ABC和面DBC都相切,其切点分别在△ABC和△DBC内(含边界),且球O与棱AD相切.
(1)证明:球O的球心在棱AD的中垂面上;
(2)求球O的半径的取值范围.
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【题目】《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(""表示一根阳线,""表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_______.
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【题目】2013年5月,华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表,破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题,证明了孪生素数猜想的弱化形式,即发现存在无穷多差小于7000万的素数对.这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个,可以这样描述:存在无穷多个素数,使得是素数,素数对称为孪生素数.在不超过16的素数中任意取出不同的两个,则可组成孪生素数的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】下列叙述正确的是( )
A.相关关系是一种确定性关系,一般可分为正相关和负相关
B.回归直线一定过样本点的中心
C.在回归分析中,为的模型比为的模型拟合的效果好
D.某同学研究卖出的热饮杯数与气温(℃)时,一定可卖出杯热饮
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