Question

3．如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点R，过焦点F作倾斜角为$\frac{2π}{3}$的直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为P，Q，则S_△PAR：S_△QBR的值等于$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，运用定义可得|PA|=|AF|，|QB|=|BF|，|PR|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AF|，|QR|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|BF|，可得S_△PAR：S_△QBR=|AF|²：|BF|²．设出直线AB的参数方程，代入抛物线方程，求得t的值，即可得到所求比值．

解答 解：抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），准线为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得|PA|=|AF|，|QB|=|BF|，
|PR|=|AF|sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AF|，|QR|═$\frac{\sqrt{3}}{2}$|BF|，
则S_△PAR：S_△QBR=$\frac{1}{2}$|PA|•|PR|：$\frac{1}{2}$|QB|•|QR|=|AF|²：|BF|²．
设过F的直线为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入抛物线方程，可得$\frac{3}{4}$t²+pt-p²=0，
解得t₁=-2p，t₂=$\frac{2}{3}$p．（p＞0），
即有|AF|：|BF|=$\frac{2}{3}$p：2P=1：3，
则有S_△PAR：S_△QBR=1：9．
故答案为：$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法，以及面积公式，同时考查直线的参数方程的运用，属于中档题．