Question

【题目】已知x，y∈R．
（Ⅰ）若x，y满足 ， ，求证： ；
（Ⅱ）求证：x4+16y4≥2x3y+8xy3 ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得： |x|= [|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤ [|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜ （2× +3× ）= ；
（Ⅱ）因为x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）
=（x﹣2y）（x3﹣8y3）=（x﹣2y）（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）
=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0，
∴x4+16y4≥2x3y+8xy3
【解析】（Ⅰ）|x|= [|2（x﹣3y）+3（x+2y）|]≤ [|2（x﹣3y）|+|3（x+2y）|]＜ （2× +3× ）= ；（Ⅱ）x4+16y4﹣（2x3y+8xy3）=x4﹣2x3y+16y4﹣8xy3=x3（x﹣2y）+8y3（2y﹣x）=（x﹣2y）2[（x+y）2+3y2]≥0即可
【考点精析】解答此题的关键在于理解不等式的证明的相关知识，掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．