Question

已知f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0，a≠1）．
（1）判断f（x）与g（x）图象的位置关系；
（2）当0＜a＜1时，比较|f（x）|与|g（x）|的大小；
（3）讨论关于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x的实根的个数．

Answer 1

分析：（1）由题设知g（x）=f（-x）．所以f（x）与g（x）的图象关于y轴对称．
（2）[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]=loga(1-x2)•loga

1-x

1+x

，由此根据x的取值范围进行分类讨论，能比较|f（x）|与|g（x）|的大小．
（3）ag(-x2+x+1)=af(k)-x，f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）等价于

-x2+x+2=1-k-x -x2+x+2＞0 1-k＞0

，由此能求出关于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x实根的个数．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x）（a＞0，a≠1），
∴g（x）=f（-x）．
∴f（x）与g（x）的图象关于y轴对称．
（2）[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]=loga(1-x2)•loga

1-x

1+x

，
∵-1＜x＜1，∴0＜1-x²＜1，
∵0＜a＜1，∴loga(1-x2)＞0，
当-1＜x＜0时，

1-x

1+x

＞1，∴loga

1-x

1+x

＜0，∴|f（x）|＜|g（x）|；
当x=0时，loga

1-x

1+x

=0，|f（x）|=|g（x）|；
当0＜x＜1时，0＜

1-x

1+x

＜1，loga

1-x

1+x

＞0，∴|f（x）|＞|g（x）|．
（3）∵ag(-x2+x+1)=af(k)-x，f（x）=log_a（1-x），g（x）=log_a（1+x），
∴ag(-x2+x+2)=aloga1-k-x等价于

-x2+x+2=1-k-x -x2+x+2＞0 1-k＞0

，
∴k＜1，-1＜x＜2，k=x²-2x-1=（x-1）²-2≥-2．

∴k＜-2时，关于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x无解，实根的个数为0个；
-1≤k＜1，或k=-2时，关于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x的实根的个数为1个；
-2＜k＜-1时，关于x的方程ag(-x2+x+1)=af(k)-x的实根的个数为2个．

点评：本题考查两个函数的图象的位置关系的判断，考查两个函数的绝对值的大小的比较，考查函数的根的个数的判断．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论法和等价转化法的合理运用．