如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,分别将线段和十等分,分点分别记为和,连接,过作轴的垂线与交于点。
(Ⅰ)求证:点都在同一条抛物线上,并求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点作直线与抛物线E交于不同的两点, 若与的面积之比为4:1,求直线的方程。
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)直线的方程为,即或
【解析】(Ⅰ)依题意,过且与x轴垂直的直线方程为
,直线的方程为
设坐标为,由得:,即,
都在同一条抛物线上,且抛物线方程为
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为
由得
此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点
设:,则
又,
分别带入,解得
直线的方程为,即或
此题在问法上给学生设了一个卡,如果第一问直接问的轨迹方程,估计学生更容易入手一些,不过对于知识要活学活用(证明它求出不就说明问题了)。那么第二问有关解析几何的计算就要善于转化,且计算要过关。
【考点定位】 本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化及数形结合思想、函数与方程思想。属于中等难度。
科目:高中数学 来源:2010-2011学年江苏省苏、锡、常、镇四市高三调研测试数学卷(一) 题型:填空题
如图,在正方形中,为的中点,为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点,设向量,则的最小值为 ;
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.
(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;
(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.
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科目:高中数学 来源:2011届江苏省苏、锡、常、镇四市高三调研测试数学卷(一) 题型:填空题
如图,在正方形中,为的中点,为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点,设向量,则的最小值为 ;
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