Question

已知圆C以（3，-1）为圆心，5为半径，过点S（0，4）作直线l与圆C交于A，B两点．
（1）若AB=8，求直线l的方程；
（2）当直线l的斜率为-2时，在l上求一点P，使P到圆C的切线长等于PS；
（3）设AB的中点为N，试在平面上找一定点M，使MN的长为定值．

Answer 1

分析：（1）当斜率不存在时，x=0符合条件； 当斜率存在时，设出直线的方程，再由圆心距的平方与弦长一半的平方等于半径的平方求得圆心距，最后由点到直线的距离公式求得l的方程．
（2）当l斜率为-2时，直线l方程为y=-2x+4，有x²+（y-4）²=（x-3）²+（y+1）²-25，从而得到点P的坐标．
（3）由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得．

解答：解：（1）圆的方程是（1分）
由条件可知：圆心C到直线l的距离为3．（3分）
当斜率不存在时，x=0符合条件； （4分）
当斜率存在时，根据点到直线的距离公式求得l的方程为8x+15y-60=0．
∴直线l方程是8x+15y-60=0或x=0．（6分）
（2）当l斜率为-2时，直线l方程为y=-2x+4，
根据题意，有x²+（y-4）²=（x-3）²+（y+1）²-25，（10分）
解之得x=

9

26

，y=

43

13

．
∴点P的坐标为(

9

26

，

43

13

)．（12分）
（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半有：
定点M的坐标为(

3

2

，

3

2

)，（16分）

点评：本题主要考查直线与圆的方程的应用，主要涉及了直线与圆相交时圆心距，半弦长与半径的关系，切线及直角三角形的相关性质．