Question

（本题满分13 分）

    已知椭圆的右焦点F 与抛物线y² = 4x 的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点，点C 在右准线l 上，BC//x 轴．

   （1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；

   （2）求证：线段EF被直线AC 平分．

 

Answer 1

【答案】

(1)

        (2) 线段EF被直线AC平分。

【解析】解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为……1分

    的焦点为F（1，0）

   

    ……………………3分

    所以，椭圆的标准方程为

    其离心率为 ……………………5分

   （2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，

    ∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则

    若AB垂直于x轴，则A（1，y₁），B（1，－y₁），C（2，－y₁）

    ∴AC的中点为

    ∴线段EF的中点与AC的中点重合，

    ∴线段EF被直线AC平分，…………………………6分

    若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为

   

    则…………………………7分

    把

得 ………………8分

则有………………9分

∴

……………………10分

∵

∴

∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，

∴线段EF被直线AC平分。………………………………13分