Question

已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝x²－4x＋2，若对任意x₁∈(0，＋∞)，均存在x₂∈[0,1]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范围．

Answer 1

(1) f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为   (2)

(1)f′(x)＝a＋＝ (x＞0)．
①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，
f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－.
在区间上，f′(x)＞0，在区间上，f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)由题意得f(x)_max＜g(x)_max，而g(x)_max＝2，
由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．
当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
故f(x)的极大值即为最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.
故a的取值范围为.