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    解答题

    已知a，b，c为三角形三边，x，y，z为不全为零的实数，且x＋y＋z＝0，求证：a2yz＋b3xz＋c2xy＜0．

    答案：
    解析：

    　　证法一：由已知z＝－x－y，代入原不等式得xy·(c2－a2－b2)＜a2y2＋b2x2，

    　　故只需证－2abxy·cosC＜a2y2＋b2x2，

    　　而2ab|xy|＜a2y2＋b2x2，|cosC|＜1，

    　　∴－2abxy·cosC＜a2y2＋b2x2成立．

    　　从而原不等式成立．

    　　证法二：在△ABC中，有|c2－a2－b2|＝|2abcosC|＜2ab．

    　　由基本不等式，得a2y2＋b2x2≥2ab|xy|＞2ab|xy||cosC|≥－2abxycosC＝xy(c2－a2－b2)．

    　　即0＞a2y(－x－y)＋b2x(－x－y)＋c2xy＝a2yz＋b2xz＋c2xy．

    　　∴a2yz＋b2xz＋c2xy＜0．


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