Question

【题目】设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，1）
B.[﹣2，0]
C.（﹣2﹣2 ，﹣2+2 ）
D.[0，1]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立

令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．

g（x）=x2+ax﹣a+1=（x+ ）2﹣ ﹣a+1．

①当﹣ ＜0，即a＞0时，g（x）min=g（0）=1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；

②当0≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min=g（﹣ ）=﹣ ﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2 ＜a＜﹣2+2 ，故﹣2≤a≤0；

③当﹣ ＞1，即a＜﹣2时，g（x）min=g（1）=2＞0，满足，故a＜﹣2．

综上a＜1．

法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1，

∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，

∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；

②当x∈[0，1）时，a＜ 恒成立．

求当x∈[0，1）时，函数y= 的最小值．

令t=1﹣x（t∈（0，1]），则y= = =t+ ﹣2，

而函数y=t+ ﹣2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，ymin=1．

故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，

由①②得a＜1．

故选：A

解法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；

解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．