Question

已知函数f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx-sin²x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若任意x∈[0，]，使不等式恒f（x）＞m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=[2sin（x+）+sinx]cosx-sin²x
=（2sinx+cosx）cosx-×
=sin2x+×-×
=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
∴函数f（x）的最小正周期为=π；
（2）∵0≤x≤，
∴≤2x+≤，可得sin（2x+）∈[-，1]
因此，f（x）=2sin（2x+）的值域为[-1，2]
∵不等式恒f（x）＞m对于x∈[0，]恒成立，
∴m小于f（x）的最小值，可得m＜-1，
由此可得实数n的取值范围是（-∞，-1）
分析：（1）利用两角和的正弦公式和二倍角的三角函数公式，化简整理得f（x）=2sin（2x+），再由三角函数周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的图象与性质，可得当x∈[0，]时，f（x）的最小值为-1，而不等式f（x）＞m恒成立，说明m要小于f（x）的最小值，由此即得实数m的取值范围．
点评：本题给出三角函数式，求函数的最小正周期和值域，着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，属于中档题．