Question

（满分12分）设f (x) 是定义在 [－1,1] 上的偶函数，f (x) 与g(x) 的图象关于x =" 1" 对称，且当x Î [2,3] 时，g(x) = a (x－2)－2 (x－2) ³（a 为常数）.
(Ⅰ)求f (x) 的解析式；
(Ⅱ)若f (x) 在 [0,1] 上是增函数，求实数a 的取值范围；
(Ⅲ)若a Î (－6,6)，问能否使f (x) 的最大值为 4？请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) f (x) =
(Ⅱ) a≥6，即aÎ [6,+¥)
(Ⅲ)当aÎ (－6,6) 时，f (x) 的最大值不可能为 4   

(I) ∵    f (x) 与g(x) 的图象关于直线x =" 1" 对称，
∴    f (x) = g(2－x) ．                  1分
∴    当xÎ [－1,0] 时，2－xÎ [2,3]，
∴    f (x) = g(2－x) = －ax + 2x ³   ．    2分
又∵      f (x) 为偶函数，
∴    xÎ [0,1] 时，－xÎ [－1,0]，
∴    f (x) = f (－x) = ax－2x ³．         3分
∴    f (x) =    ．  4分
(II)   ∵    f (x) 为 [0,1] 上的增函数，
∴    f’(x) = a－6x ²≥0 Þa≥6x ² 在区间 [0,1] 上恒成立.         6分
∵    xÎ [0,1] 时，6x ²≤6 ，      7分
∴    a≥6，即aÎ [6,+¥) .     8分
(III)  由f (x) 为偶函数，故只需考虑xÎ [0,1]，
由f’(x) =" 0" 得x = ，  9分
由f () =" 4" Þa =" 6" ，     10分
此时x = 1，       11分
当aÎ (－6,6) 时，f (x) 的最大值不可能为 4 .     12分