Question

p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，q：实数x满足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0．又a＞0，
所以a＜x＜3a．
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

得

-2≤x≤3 x＞2或x＜-4

得2＜x≤3，
即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．
即q是p的充分不必要条件，
则

3a＞3 a≤2

，解得1＜a≤2，
所以实数a的取值范围是1＜a≤2．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，