Question

8．已知：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1（a∈R，a为常数）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上最大值与最小值之和为3，求a的值．
（3）求在（2）条件下，f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）由已知可得ω=2，利用周期公式即可得解最小正周期．
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，可得2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（x）_{max}=2+a+1=a+3}\\{f（x）min=-1+a+1=a}\end{array}\right.$，由a+3+a=3，即可解得a的值．
（3）可求函数解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得单调递减区间．

解答 解：（1）∵ω=2，∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；…（3分）
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）_{max}=2+a+1=a+3}\\{f（x）min=-1+a+1=a}\end{array}\right.$，
∴a+3+a=3，解得：a=0．
（3）∵a=0，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得单调递减区间为：[k$π+\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．