Question

（本小题满分14分）

设数列{an}为前n项和为Sn，，数列{ Sn +2}是以2为公比的等比数列．

(1)求；

(2)抽去数列{an}中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，若{cn}的前n项和为Tn，求证：

＜≤

Answer 1

（本小题满分14分）

解：(1)由题意得：，，(1分)　　　　　　　　　

已知数列{ Sn +2}是以4为首项，2为公比的等比数列

所以有：，    (4分)

当时，，又   (6分)

所以：　　　　(7分)

(２)由(１) 知:，

∴数列{cn}为22，23，25，26，28，29，……，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；(8分)

∴当 n=2k-1(k∈N*)时，

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k-2)

=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k-3)

=+=×8k-，(11分)

Tn+1= Tn+cn+1=×8k-+23k = ×8k-，(10分)

　=　　=　+，

∵ 5×8k-12≥28，∴＜≤3。(11分)

∴当n=2k (k∈N*)时，

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k)

=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k)

     =+=×8k-，(12分)

Tn+1= Tn+cn+1=×8k-+23k+2  = ×8k-，(13分)

      ∴ 　=　　=　+，∵8k-1≥7 ，∴＜＜，

∴ ＜≤。(14分)