Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设=λ．
（Ⅰ）证明：λ=1-e²；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（-，0）（0，a）．
由得．这里c=．
所以点M的坐标是（-c，）．由=λ得（-c+，）=λ（，a）．
即．解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，
要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即|PF₁|=c．
设点F₁到l的距离为d，
由|PF₁|═d===c，
得=e．
所以e²=，于是λ=1-e²=．
即当λ=时，△PF₁F2为等腰三角形．
分析：（Ⅰ）因为A、B分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是（-，0）（0，a）．由题设知点M的坐标是（-c，）．由=λ得（-c+，）=λ（，a）．从而解得λ=1-e²．
（Ⅱ）因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=c．由题设知当λ=时，△PF₁F2为等腰三角形．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细求解，合理地运用公式．