Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（Ⅰ）若点A的横坐标是

3

5

，点B的纵坐标是

12

13

，求sin（α+β）的值；
（Ⅱ） 若|AB|=

3

2

，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三角函数的定义可求cosα，sinβ，结合α、β的终边位置可求sinα，cosβ，代入两角和的正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ可求
（Ⅱ）方法（1）由向量的减法的 四边形法则可知|AB|=|

AB

|=|

OB

-

OA

|，对其两边同时平方即可求解

OA

•

OB

方法（2）由余弦定理cos∠AOB=

|OA|2+|OB|2-|AB|2

2|OA||OB|

=-

1

8

，代入向量的数量积的 定义

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cos∠AOB可求

解答：解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，cosα=

3

5

，sinβ=

12

13

．  …（2分）
∵α的终边在第一象限，∴sinα=

4

5

． …（3分）
∵β的终边在第二象限，∴cosβ=-

5

13

．…（4分）
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×(-

5

13

)+

3

5

×

12

13

=

16

65

．…（7分）
（Ⅱ）方法（1）∵|AB|=|

AB

|=|

OB

-

OA

|，…（9分）
又∵|

OB

-

OA

|2=

OB

2+

OA

2-2

OA

•

OB

=2-2

OA

•

OB

，…（11分）
∴2-2

OA

•

OB

=

9

4

，
∴

OA

•

OB

=-

1

8

．…（13分）
方法（2）∵cos∠AOB=

|OA|2+|OB|2-|AB|2

2|OA||OB|

=-

1

8

，…（10分）
∴

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cos∠AOB=-

1

8

． …（13分）

点评：本题主要考查了三角函数的 定义、两角和 的正弦公式及向量的数量积的性质及数量积的定义的简单应用．