分析 (1)先求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围,结合函数的单调性从而求出a的值;
(2)根据ln(1+x)<x,得到${(\frac{n-k}{n})}^{n}$<e-k,从而证出结论.
解答 解:(1)f′(x)=$\frac{1}{1+x}$-a=$\frac{1-a-ax}{1+x}$,
①当a=0时,f′(x)=$\frac{1}{1+x}$,
∵x∈(-1,+∞),∴f′(x)>0,f(x)在(-1,+∞)单调递增,
当x≥0时,f(x)≥f(0)=0,不合题意;
②当a>0时,令f′(x)=0,解得:x=$\frac{1}{a}$-1>-1,
x∈(-1,$\frac{1}{a}$-1),f′(x)>0,f(x)单调递增,
x∈($\frac{1}{a}$-1,+∞),f′(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(x)max=f($\frac{1}{a}$-1)=ln$\frac{1}{a}$-a($\frac{1}{a}$-1)≤0,
即a-1-lna≥0,
设g(a)=a-1-lna,则g′(a)=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$,
∴a∈(0,1)时,g′(a)<0,g(a)递减,
a∈(1,+∞)时,g′(a)>0,g(a)递增,
∴g(a)min=g(1)=0,
∴a=1;
③a<0时,令f(x)=0,得x≤$\frac{1}{a}$-1<-1,
x∈(-1,+∞),f′(x)>0,f(x)递增,
当x≥0时,f(x)≥f(0)=0,不合题意;
综上,a=1时,对于任意的x∈(-1,+∞),f(x)≤0恒成立.
(2)∵ln(1+x)≤x,(x>-1),(当且仅当x≥0取得),
令x=-$\frac{k}{n}$,(k=1,2,3,…,n-1),(n∈N*),
ln(1-$\frac{k}{n}$)<-$\frac{k}{n}$⇒nln(1-$\frac{k}{n}$)<-k⇒ln${(1-\frac{k}{n})}^{n}$<-k⇒${(\frac{n-k}{n})}^{n}$<e-k,
($\frac{1}{n}$)n+($\frac{2}{n}$)n+($\frac{3}{n}$)n+…+($\frac{n-1}{n}$)n<<e-1+e-2+…+-e-(n-1)<$\frac{\frac{1}{e}[1{-(\frac{1}{e})}^{n-1}]}{1-\frac{1}{e}}$<$\frac{\frac{1}{e}}{1-\frac{1}{e}}$=$\frac{1}{e-1}$.
即得:($\frac{1}{n}$)n+($\frac{2}{n}$)n+($\frac{3}{n}$)n+…+($\frac{n-1}{n}$)n<$\frac{1}{e-1}$.
点评 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,不等式恒成立问题,是一道难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{5}{2}$ | B. | $\frac{9}{2}$ | C. | $\frac{9}{4}$ | D. | 2 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com