Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=-1
（1）求：$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（3）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 由已知求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的数量积，利用数量积公式求夹角以及模的计算即可．

解答 解：由已知：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=-1
所以${\overrightarrow{a}}^{2}-2{\overrightarrow{b}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1，
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，
所以（1）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为45°；
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2+1+2=5，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$；
（3）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，则△ABC的面积$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用、模的求法以及三角形面积公式的运用；关键是正确求出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，的夹角．