Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，-1），B点在直线y=-3上，M点满足

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，M点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）并代入

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，即可求得M点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）．
所

MA

=（-x，-1-y），

MB

=（0，-3-y），

AB

=（x，-2）．
再由题意可知（

MA

+

MB

）•

AB

=0，即（-x，-4-2y）•（x，-2）=0．
所以曲线C的方程式为y=

1

4

x2-2．

（Ⅱ）设P（x₀，y₀）为曲线C：y=

1

4

x2-2上一点，因为y′=

1

2

x，所以l的斜率为

1

2

x₀，
因此直线l的方程为y-y₀=

1

2

x₀（x-x₀），即x₀x-2y+2y₀-x₀²=0．
则o点到l的距离d=

|2y0-x02|

4+x02

．又y₀=

1

4

x02-2，
所以d=

1 2 x02+4

4+x02

=

1

2

(

x02+4

+

4

4+x02

)≥2，
所以x₀²=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．

点评：此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．