Question

已知函数f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)+sinx•(cosx-

3

sinx)
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f(C)=1，c=

2

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换公式，化简得f（x）=2sin(2x+

π

3

)．再由三角函数的周期公式和单调区间的公式解不等式，可得f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）由函数f（x）的表达式，解出C=

π

4

．利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，结合基本不等式解出ab≤2+

2

．由此利用三角形的面积公式，可得当且仅当a=b=

2+ 2

时△ABC的面积有最大值，并可求出这个最大值．

解答：解：（1）根据题意，可得
f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)+sinx•(cosx-

3

sinx)
=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)+sinx•cosx-

3

sin2x
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

（k∈Z）
即单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

](k∈Z)；（6分）
（2）由f(C)=2sin(2C+

π

3

)=1，解得sin(2C+

π

3

)=

1

2

∵C是△ABC的内角，∴2C+

π

3

=

5π

6

，得C=

π

4

由余弦定理，得2=a2+b2-2ab•

2

2

≥2ab-

2

ab
∴ab≤

2

2- 2

=2+

2

（当且仅当a=b=

2+ 2

时取等号）
因此，△ABC面积的最大值为S=

1

2

ab•sinC=

1

2

×(2+

2

)×

2

2

=

2 +1

2

．  （12分）

点评：本题给出三角函数的表达式，求函数的周期与单调区间，并依此求三角形面积的最值．着重考查了三角函数的图象与性质、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．