【题目】设正数x,y满足log x+log3y=m(m∈[﹣1,1]),若不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,则实数a的取值范围是( )
A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)
【答案】C
【解析】解:∵log x+log3y=m,即log3 +log3y=log3 =m, ∴ =3m , ∵m∈[﹣1,1],∴ ∈[ ,3].
∵3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2 ,
∴3a﹣18 +(2a+3) ≥1﹣2 + ,
令 =t,则2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1≥0,
设f(t)=2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1,
∵不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,
∴f(t)在[ ,3]上的最大值fmax(x)≥0,
(i)当a=﹣1时,f(t)=﹣16t﹣4,
∴fmax(t)=f( )=﹣ ﹣4<0,不符合题意;
(ii)若a<﹣1,则f(t)开口向下,对称轴为t= <0,
∴f(t)在[ ,3]上单调递减,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6<0,不符合题意;
(iii)若a>﹣1,则f(t)开口向上,对称轴为t= >0,
①若0< ≤ ,即a≥11时,f(t)在[ ,3]上单调递增,
∴fmax(t)=f(3)=21a﹣31>0,符合题意;
②若 ,即﹣1<a 时,f(t)在[ ,3]上单调递减,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6≤ ﹣6<0,不符合题意;
③若 < <3,即 <a<11时,f(t)在[ ,3]上先减后增,
∴fmax(t)=f( )或fmax(t)=f(3),
∴f( )= ﹣6≥0或f(3)=21a﹣31>0,
解得a≥ 或a≥ ,又 <a<11,
∴ ≤a<11,
综上,a的取值范围是[ ,+∞).
故选C.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 ,(α为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 .
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设P为曲线C上一点,Q为直线l上一点,求|PQ|的最小值.
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【题目】下列结论正确的是( )
A.命题“若,则”为假命题
B.命题“若,则”的否命题为假命题
C.命题“若,则方程有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若,则”的逆否命题为真命题
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,左、右焦点分别为圆F1、F2 , M是C上一点,|MF1|=2,且| || |=2 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于不同两点A、B时,线段AB上取点Q,且Q满足| || |=| || |,证明点Q总在某定直线上,并求出该定直线的方程.
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【题目】中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为万元, 每生产台,需另投入成本(万元), 当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元), 若每台设备售价为万元, 通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润 (万元)关于年产量(台)的函数关系式;
(2)年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?
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【题目】已知函数f(x)=ex+be﹣x﹣2asinx(a,b∈R).
(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当b=﹣1时,若f(x)>0对任意x∈(0,π)恒成立,求a的取值范围.
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线l的参数方程为 (t为参数,0<φ<π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当φ变化时,求|AB|的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=2lnx+ax﹣ (a∈R)在x=2处的切线经过点(﹣4,2ln2)
(1)讨论函数f(x)的单调性
(2)若不等式 恒成立,求实数m的取值范围.
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