Question

4．已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧视图是腰长为2的等腰三角形（如图所示），当正视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为（　　）

• A． 8
• B． 8+8$\sqrt{2}$
• C． 8$\sqrt{2}$
• D． 4+8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据左视图准确还原几何体，求出a和h的关系，再确定出主视图的形状，表示出主视图的面积，由基本不等式求出最大值以及对应的a和h的值，代入棱锥的表面积公式求解

解答 解：由题意画出四棱锥如图：其主视图和左视图相同，
由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2a，
设高PO=h，则四棱锥的斜高PE=$\sqrt{2}$，
∴a²+h²=4，
则主视图的面积S=$\frac{1}{2}$2ah=ah≤$\frac{{a}^{2}+{h}^{2}}{2}$=2，
当且仅当a=h=$\sqrt{2}$时取等号，此时S最大．
∴四棱锥的表面积S=（2a）²+4×$\frac{1}{2}$×2a×2=8+8$\sqrt{2}$；
故选B．

点评 本题主要考查由三视图求面、体积，以及基本不等式求出最值，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，熟练掌握各种类型的几何体求表面积的公式．