Question

证明不等式：a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc（a+b+c）

Answer 1

证明：∵a⁴+b⁴≥2a²b²，b⁴+c⁴≥2b²c²，c⁴+a⁴≥2a²c²
∴2（a⁴+b⁴+c⁴）≥2（a²b²+b²c²+a²c²）
即a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+a²c²
又a²b²+b²c²≥2ab²c；b²c²+a²c²≥2abc²；a²b²+a²c²≥2a²bc
∴2（a²b²+b²c²+a²c²）≥2（a²bc+ab²c+abc²）
即a²b²+b²c²+a²c²≥abc（a+b+c）
∴a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc（a+b+c）
分析：利用基本不等式，再相加，即可证得结论．
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．