Question

如图，棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是B₁C₁，C₁D₁的中点．

(1)求证：B，D，E，F四点共面；

(2)求四边形EFDB的面积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：如下图所示，连接B1D1，BD，FD． 　　在△C1B1D1中，C1E＝EB1，C1F＝FD1，所以EF∥B1D1，且EF＝B1D1．因为B1B∥D1D，且B1B＝D1D， 　　所以四边形BB1D1D是平行四边形， 　　所以B1D1∥BD． 　　从而EF∥BD， 　　所以B，D，E，F四点共面． 　　(2)解：由AB＝a，知BD＝B1D1＝a，EF＝a，DF＝BE＝＝＝a． 　　由(1)知EF∥BD． 　　又BE＝DF，且BE与DF不平行， 　　故四边形EFDB为等腰梯形． 　　过点F作FH⊥DB于点H， 　　则DH＝＝a． 　　所以FH＝ 　　＝＝ 　　＝a． 　　所以四边形EFDB的面积