Question

【题目】设函数f（x）=ex﹣x，h（x）=﹣kx3+kx2﹣x+1．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设h（x）≤f（x）对任意x∈[0，1]恒成立时k的最大值为λ，证明：4＜λ＜6．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣x，∴f′（x）=ex﹣1，

x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，

x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，

∴f（x）min=f（0）=1

（2）解：由h（x）≤f（x），化简可得k（x2﹣x3）≤ex﹣1，

当x=0，1时，k∈R，

当x∈（0，1）时，k≤ ，

要证：4＜λ＜6，则需证以下两个问题：

① ＞4对任意x∈（0，1）恒成立，

②存在x0∈（0，1），使得 ＜6成立，

先证：① ＞4，即证ex﹣1＞4（x2﹣x3），

由（1）可得：ex﹣x≥1恒成立，

∴ex﹣1≥x，又x≠0，∴ex﹣1＞x，

即证x≥4（x2﹣x3）1≥4（x﹣x2）（2x﹣1）2≥0，

（2x﹣1）2≥0，显然成立，

∴ ＞4对任意x∈（0，1）恒成立，

再证②存在x0∈（0，1），使得 ＜6成立，

取x0= ， =8（ ﹣1），

∵ ＜ ，∴8（ ﹣1）＜6× =6，

故存在x0∈（0，1），使得 ＜6，

由①②可得：4＜λ＜6

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（2）问题转化为证明① ＞4对任意x∈（0，1）恒成立，②存在x0∈（0，1），使得 ＜6成立，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．