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11.已知函数f(x)=x+$\frac{a}{x}$+1的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞),则a=1.

分析 对a分类分析,可知当a>0时,函数f(x)=x+$\frac{a}{x}$+1的值域符合题意,求出其值域,结合f(x)=x+$\frac{a}{x}$+1的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)列关于a的方程组求a

解答 解:若a=0,f(x)=x+$\frac{a}{x}$+1=x+1,值域为(-∞,+∞),不满足题意;
若a<0,f(x)=x+$\frac{a}{x}$+1在(-∞,0),(0,+∞)上为增函数,函数f(x)=x+$\frac{a}{x}$+1的值域为(-∞,+∞),不满足题意;
若a>0,则当x>0时,f(x)=x+$\frac{a}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{a}{x}}$+1=2$\sqrt{a}$+1,当且仅当x=$\sqrt{a}$时取“=”;
当x<0时,f(x)=x+$\frac{a}{x}$+1≤-2$\sqrt{-x•\frac{a}{-x}}$+1=-2$\sqrt{a}$+1,当且仅当x=-$\sqrt{a}$时取“=”.
由$\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{a}+1=3\\-2\sqrt{a}+1=-1\end{array}\right.$,
解得a=1,
故答案为:1.

点评 本题考查函数值域的求法,训练了利用基本不等式求最值,体现了分类讨论的数学思想方法,是中档题.

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