Question

【题目】已知函数 （a为常数，a≠0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在点（3，f（3））的切线方程
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在x0处取得极值，且 ，而f（x）≥0在[e+2，e3+2]上恒成立，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】
（1）解： （x＞2）

当a=1时， ，f'（3）=﹣2. ，

所以，函数f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：

，即4x+2y﹣3=0．

（2）解： = ，

因为x＞2，所以x﹣2＞0，

①当a＜0时，（x﹣1）2﹣（a+1）=x（x﹣2）﹣a＞0在x＞2上成立，

所以f'（x）当x＞2恒大于0，

故f（x）在（2，+∞）上是增函数．

②当a＞0时， ，

因为x＞2，

所以 ，a（x﹣2）＞0，

当 时，f'（x）≤0，f（x）为减函数；

当 时，f'（x）≥0，f（x）为增函数．

综上：当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上为增函数；

当a＞0时，f（x）在 上为增函数，在 上为减函数．

（3）解：由（2）知x0处有极值，故a＞0，且 ，

因为 且e+2＞2，

所以f（x）在[e+2，e3+2]上单调．

当[e+2，e3+2]为增区间时，f（x）≥0恒成立，则有 ．

当[e+2，e3+2]为减区间时，f（x）≥0恒成立，则有 解集为空集．

综上：当a＞e6+2e3时满足条件

【解析】（1）求出函数的导数，计算f（3），f′（3）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）由（2）知x0处有极值，求出 ，得到f（x）在[e+2，e3+2]上单调，根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．