【题目】已知关于 的函数 ,
(I)试求函数的单调区间;
(II)若在区间 内有极值,试求a的取值范围;
(III) 时,若有唯一的零点 ,试求 .(注:为取整函数,表示不超过的最大整数,如 ;以下数据供参考:
【答案】(I)单调递减区间;单调递增区间;(II)f(x)在区间(0,1)内有极值,则a的取值范围为.(III).
【解析】
(I)由题意的定义域为 ,对a分类讨论:当a≥0时,当a<0时,即可得出单调性;
(II) , 所以的定义域也为,且,
令h(x)=2x3-ax-2,x∈[0,+∞),h′(x)=6x2-a,当a<0时,可得:函数h(x)在(0,1)内至少存在一个变号零点x0,且x0也是f′(x)的变号零点,此时f(x)在区间(0,1)内有极值.当a≥0时,由于函数f(x)单调,因此函数f(x)无极值.
(III)a>0时,由(II)可知:f(1)=3知x∈(0,1)时,f(x)>0,因此x0>1.又f′(x)在区间(1,+∞)上只有一个极小值点记为x1,由题意可知:x1即为x0.得到 ,即 ,消去可得: ,a>0,令 分别研究单调性即可得出x0的取值范围.
(I)由题意的定义域为
(i)若,则在上恒成立,为其单调递减区间;
(ii)若,则由得,
时,,时,,
所以为其单调递减区间;为其单调递增区间;
(II) 所以的定义域也为,
且
令 (*)
则 (**)
(i)当时, 恒成立,所以为上的单调递增函数,
又,所以在区间内存在唯一一个零点,
由于为上的单调递增函数,所以在区间内,
从而在,所以此时在区间内有唯一极值且为极小值,适合题意,
(ii)当时,即在区间(0,1)上恒成立,此时, 无极值.
综上所述,若在区间内有极值,则a的取值范围为.
(III) ,由(II)且知时, .
由(**)式知,。
由于,所以,
又由于,
所以
亦即 ,
由
从而得
所以,,
从而,又因为有唯一的零点,所以 即为,
消去a,得
时令,
则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数,
且
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【题目】将集合中的元素作全排列,使得除了最左端的一个数之外,对于其余的每个数,在的左边某个位置上总有一个数与之差的绝对值为1.则满足条件的排列个数为____________.
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【题目】已知盒子中装有红色、蓝色纸牌各100张,每种颜色纸牌均含标数为的纸牌各一张,两种颜色纸牌的标数总和记为.
对于给定的正整数,若能从盒子中取出若干张纸牌,使其标数之和恰为,则称其为一种取牌“n—方案”.记不同的n—方案种数为.试求的值.
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【题目】武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒,某药物研究所为筛查该新型冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有份血液样本,每份样本取到的可能性均等,有以下两种检验方式:①逐份检验,则需要检验n次;②混合检验,将其中份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这k份血液全为阴性,因此这k份血液样本检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性,就要对这k份血液再逐份检验,此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为.
(1)假设有5份血液样本,其中只有2份为阳性,若采取逐份检验方式,求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率;
(2)现取其中份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为.
(i)试运用概率统计知识,若,试求P关于k的函数关系式;
(ii)若,采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少,求k的最大值.
参考数据:,,,,
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【题目】已知椭圆C: 的右焦点为F(2,0),过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l不经过点P(0,b)且与C相交于A,B两点,若直线PA与直线PB的斜率的和为1,试判断直线 l是否经过定点,若经过定点,请求出该定点;若不经过定点,请给出理由.
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【题目】某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查,40岁以上调查了50人,不高于40岁调查了50人,所得数据制成如下列联表:
不喜欢西班牙队 | 喜欢西班牙队 | 总计 | |
40岁以上 | 50 | ||
不高于40岁 | 15 | 35 | 50 |
总计 | 100 |
已知工作人员从所有统计结果中任取一个,取到喜欢西班牙队的人的概率为,则有超过________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关.
参考公式与临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.702 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】若实数满足,则称为的不动点.已知函数
,其中,、为常数。
(1)若,求函数的单调递增区间;
(2)若时,存在一个实数,使得既是的不动点,又是的极值点,求实数的值;
(3)证明:不存在实数组,使得互异的两个极值点均为不动点.
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