Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．
（1）求证：AB1⊥CC1；
（2）若AB1=3 ，A1C1的中点为D1 ， 求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，

取CC1中点O，连结OA，OB1，

则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，

∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，

∵AB1平面OAB1，∴CC1⊥AB1

（2）解：由（1）知OA=OB1=3，

又AB1=3 ，∴OA2+OB12=AB12，

∴OA⊥OB1，OA⊥平面B1C1C，

如图，分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则C（0，﹣ ，0），B1（3，0，0），A（0，0，3），C1（0， ，0），A1（0，2 ，3），D1（0， ， ），

设平面CAB1的法向量 =（x，y，z），

∵ =（3，0，﹣3）， =（1，﹣ ，1），

∴ ，取x=1，得 =（ ），

设平面AB1D1的法向量 =（a，b，c），

∵ =（0， ，﹣ ）， =（﹣3， ， ），

∴ ，取b=1，得 =（ ），

∴cos＜ ＞= = = ，

由图知二面角C﹣AB1﹣D1的平面角为钝角，

∴二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）连结AC1 ， 则△ACC1 ， △B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1 ， 则CC1⊥OA，CC1⊥OB1 ， 由此能证明CC1⊥AB1 ． （2）分别以OB1 ， OC1 ， OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．