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7.已知函数f(x)=x3-x的图象是曲线C
(1)求曲线C在点M(t,f(t))处的切线方程;
(2)求过点P(-1,0)的曲线C的切线方程;
(3)假设a>0,如果过点(a,b)可以作曲线C的三条切线,证明:-a<b<f(a)

分析 (1)求出f′(x),根据切点为M(t,f(t)),得到切线的斜率为f'(t),所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可;
(2)先求出函数的导函数,设出切点,然后求出在切点处的导数,从而求出切线的斜率,利用点斜式方程求出切线方程即可;
(3)设切线过点(a,b),则存在t使b=(3t2-1)a-2t3,于是过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线即为方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根.记g(t)=2t3-3at2+a+b,求出其导函数=0时t的值,利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g(t)的单调区间,利用g(t)的增减性得到g(t)的极值,根据极值分区间考虑方程g(t)=0有三个相异的实数根,得到极大值大于0,极小值小于0列出不等式,求出解集即可得证.

解答 解:(1)求函数f(x)的导函数;f'(x)=3x2-1.
曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线斜率为3t2-1,切点为(t,t3-t),
即有切线方程为:y-f(t)=f'(t)(x-t),即y=(3t2-1)x-2t3
(2)由f′(x)=3x2-1.设切线的斜率为k,设切点是(x0,y0),
则有y0=x03-x0,①
k=f′(x0)=3x02-1,
切线的方程为y-x03+x0=(3x02-1)(x-x0),
代入(-1,0),可得-x03+x0=(3x02-1)(-1-x0),
解得x0=-1或x0=$\frac{1}{2}$,
∴所求曲线的切线方程为:x+4y+1=0或2x-y+2=0;
(3)证明:如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=(3t2-1)a-2t3
于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,
则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根.
记g(t)=2t3-3at2+a+b,则g'(t)=6t2-6at=6t(t-a).
当t变化时,g(t),g'(t)变化情况如下表:

t(-∞,0)0(0,a)a(a,+∞)
g′(t)+0-0+
g(t) 增极大值a+b 减极小值b-f(a) 增
由g(t)的单调性,当极大值a+b<0或极小值b-f(a)>0时,
方程g(t)=0最多有一个实数根;
当a+b=0时,解方程g(t)=0得t=0,t=$\frac{3a}{2}$,
即方程g(t)=0只有两个相异的实数根;
当b-f(a)=0时,解方程g(t)=0得t=-$\frac{1}{2}$a,
即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.
综上,如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,
即g(t)=0有三个相异的实数根,则$\left\{\begin{array}{l}{a+b>0}\\{b-f(a)<0}\end{array}\right.$,
即-a<b<f(a).

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查导数的几何意义:切点处的导数值是切线的斜率;注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别,会利用导数研究函数的增减性得到函数的极值.

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