Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x）如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2成立．则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断函数g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
（2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
（3）某同学发现：当x=（n∈N）时，有f（）≤+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．

Answer 1

解：（1）显然g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）满足①x∈[0，1]，f（x）≥2；②f（1）=3；
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2^x1+x2-2^x1-2^x2-1=（2^x1-1）（2^x2-1）-2≥-2
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）-2成立，故为理想函数．（4分）
（2）设x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，则x₂-x₁∈（0，1]
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2
∴f（x₂）-f（x₁）≥f （x₂-x₁）-2≥0，∴f（x₁）≤f（x₂）
则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1），
在③中，令x₁=x₂=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，
∴f（0）=2当x=1时，f（1）=3，
∴当x=0时，f（x）取得最小值2，
当x=1时，f（x）取得最大值3（10分）
（3）对x∈（0，1]，总存在n∈N，＜x≤，
由（2）及该同学的结论，得f（x）≤f（）≤+2，
又2x+2＞2•+2=+2，
∴f（x）＜2x+2
综上所述，对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2（16分）
分析：（1）欲判断g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是不是满足理想函数，即看它是否满足①x∈[0，1]，f（x）≥2；②f（1）=3；下面一一验证即可；
（2）先研究函数f（x）的单调性，从而得出此函数的最值．得到当x=0时，f（x）取得最小值2，当x=1时，f（x）取得最大值3即可；（3）由于对x∈（0，1]，总存在n∈N，＜x≤，再加上由（2）及该同学的结论，得f（x）≤f（）≤+2，又2x+2＞2•+2=+2，最后利用放缩法即得．
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、抽象函数的应用、放缩法等，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．