Question

19．已知函数f（x）=lnx-x²+x+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在区间（0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数f（x）在（0，a]的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x²+x+2，其定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
∵x＞0，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）；单调递减区间是（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）的单调递增区间是（0，1）；单调递减区间是（1，+∞），
当0＜a≤1时，f（x）在区间（0，a]上单调递增，f（x）的最大值是f（a）=lna-a²+a+2；
当a＞1时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，
则f（x）在x=1处取得极大值，也即该函数在（0，a]上的最大值，此时f（x）的最大值是f（1）=2；
∴f（x）在区间（0，a]上的最大值f（a）=$\left\{\begin{array}{l}{lna{-a}^{2}+a+2，0＜a≤1}\\{2，a＞1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．