Question

圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了用反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法，那么与正面证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？

Answer 1

思路:反证法是一种间接证法，它先是提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定原假设，达到肯定原命题正确的一种方法.

探究:反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是不都是；至少有一个一个也没有；至少有n个至多有(n-1)个；至多有一个至少有两个；唯一至少有两个.

    归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾.

    反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不止一种)，如在上述定理证明中，假设点D不在圆上，则有点D在圆外和点D在圆内两种情况，必须一一证出这两种情况都不成立后，才能肯定点D在圆上.

    用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.

对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用.