Question

给定方程：（）^x+sinx-1=0，下列命题中：
①该方程没有小于0的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③该方程在（-∞，0）内有且只有一个实数解；
④若x是该方程的实数解，则x＞-1．
则正确命题是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）^x-1的单调性与正弦函数的有界性，
分析可得当x≤-1时方程没有实数解，当-1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．
解答：解：对于①，若α是方程（）^x+sinx-1=0的一个解，
则满足（）^α=1-sinα，当α为第三、四象限角时（）^α＞1，
此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；
对于②，原方程等价于（）^x-1=-sinx，
当x≥0时，-1＜（）^x-1≤0，而函数y=-sinx的最小值为-1
且用无穷多个x满足-sinx=-1，
因此函数y=（）^x-1与y=-sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点
因此方程（）^x+sinx-1=0有无数个实数解，故②正确；
对于③，当x＜0时，
由于x≤-1时（）^x-1≥1，函数y=（）^x-1与y=-sinx的图象不可能有交点
当-1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）^x=1-sinx，
因此该方程在（-∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；
对于④，由上面的分析知，
当x≤-1时（）^x-1≥1，而-sinx≤1且x=-1不是方程的解
∴函数y=（）^x-1与y=-sinx的图象在（-∞，-1]上不可能有交点
因此只要x是该方程的实数解，则x＞-1．
故答案为：②③④
点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．