Question

9．已知函数f（x）=e^2x+sinx-3x²+3x-1，g（x）=ax²+a²lnx（a∈R）．
（1）若a=-1，求g（x）的极大值；
（2）若?x₁∈[0，1]，?x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，求得单调区间，即可得到g（x）的极大值；
（2）运用单调性可得y=e^2x+sinx的最小值为1，由二次函数的最值的求法，可得-3x²+3x-1的最小值为-1，进而得到f（x）的最小值为0，由题意可得0≥g（x）=ax²+a²lnx在（0，1]恒成立．对a讨论，结合单调性，即可得到a的范围．

解答 解：（1）若a=-1，则g（x）=-x²+lnx，
g′（x）=-2x+$\frac{1}{x}$=$\frac{（1+\sqrt{2}x）（1-\sqrt{2}x）}{x}$，
由x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，g′（x）＜0，g（x）递减；
由0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得极大值，且为-$\frac{1}{2}$+ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）当x∈[0，1]时，y=e^2x+sinx递增，
即有x=0处取得最小值，且为1；
y=-3x²+3x-1在[0，$\frac{1}{2}$]递增，在[$\frac{1}{2}$，1]递减，
即有x=0或1处取得最小值，且为-1．
则f（x）在[0，1]的最小值为1-1=0．
由题意可得0≥g（x）=ax²+a²lnx在（0，1]恒成立．
当a=0时，不等式显然成立；
当a＞0时，g（x）递增，即有0≥a，不成立；
当a＜0时，x²+alnx≥0，x=1时，显然成立，
当0＜x＜1时，即有lnx＜0，不等式显然成立．
综上可得a的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．