【题目】已知函数,其中
,
,
是自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设函数,证明:
.
【答案】(Ⅰ)在
上单调递减,在
上单调递增;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)先求函数导数,根据导函数零点情况分类讨论:当时,仅有一个零点1;当
时,两个相同的零点;当
及
时,两个不同的零点,最后根据导函数符号变化规律确定单调性,(2)先等价转化所证不等式:
①且
②,然后分别利用导数研究函数最值:
的最小值为
,
的最小值为
试题解析:(Ⅰ)
(1)当时,
,当
,
;当
,
;
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)当时,令
,得
,
由得
,由
得
或
,
所以在
,
上单调递增,在
上单调递减.
(3)当时,令
,
,故
在
上递增.
(4)当时,令
,得
,
由得
,由
得
或
,
所以在
,
上单调递增,在
上单调递减.
综上,当时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
当时,
在
,
上单调递增,在
上单调递减.
当时,
在
上递增.
当时,
在
,
上单调递增,在
上单调递减.
(Ⅱ)
①且
②
先证①:令,则
,
当,
,
单调递减;当
,
,
单调递增;
所以
,故①成立!
再证②:由(Ⅰ),当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以
,故②成立!
综上, 恒成立.
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【题目】已知椭圆C的方程为+
=1,A、B为椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C上不同于A、B的动点,直线x=4与直线PA、PB分别交于M、N两点;若D(7,0),则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点,其坐标为________.
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【题目】已知圆柱底面半径为1,高为
,ABCD是圆柱的一个轴截面,动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D,其距离最短时在侧面留下的曲线
如图所示.将轴截面ABCD绕着轴
逆时针旋转
后,边
与曲线
相交于点P.
(Ⅰ)求曲线长度;
(Ⅱ)当时,求点
到平面APB的距离;
(Ⅲ)证明:不存在,使得二面角
的大小为
.
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【题目】若奇函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,又f(﹣3)=0,则不等式f(x)<0的解集为( )
A.(﹣3,0)∪(3,+∞)
B.(﹣3,0)∪(0,3)
C.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
D.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,
.求:
(1)tan(α+β)的值;
(2)α+2β的大小.
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【题目】如图, 中,
是
的中点,
,将
沿
折起,使
点到达
点.
(1)求证: 平面
;
(2)当三棱锥的体积最大时,试问在线段
上是否存在一点
,使
与平面
所成的角的正弦值为
?若存在,求出点
的位置;若不存在,请说明理由.
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