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    已知函数，．

    当时，求的单调区间；

    对任意正数，证明：．

    解：当时，，求导得 ，

    于是当时，；而当 时，．

    即在中单调递增，而在中单调递减．     

    （2）对任意给定的，，由 ，

    若令 ，则   … ① ，    …  ②

    （一）先证；因为，，，

    又由  ，得 ．

    所以

    ．

    （二）再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则

    （Ⅰ）当，则，所以，因为 ，

    ，此时．

     （Ⅱ）当 …③，由①得 ,，，

    因为   所以   … ④

     同理得 …  ⑤ ，于是   … ⑥

    今证明   …  ⑦, 因为  ，

    只要证  ，即 ，也即 ，据③，此为显然．

     因此⑦得证．故由⑥得 ．

    综上所述，对任何正数，皆有．

    练习册系列答案
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    （Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.

     

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    已知函数.

    （Ⅰ）当时，求函数的极大值；

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    已知函数.

    （Ⅰ）当时，求的极值;

    （Ⅱ）当时，求的单调区间.

     

     

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    (Ⅰ)判断(2)中是否为“和谐函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由；

    (Ⅱ)若关于的函数是“和谐函数”，求实数的取值范围.

     

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